Aelbert was het enige kind van Jacob Gerritsz. Cuyp en Aertken Cornelisdr. van Cooten. Hij werd in 1620 geboren in een huurhuis aan de Nieuwe Haven, vlakbij de Venloostraat. Al snel na zijn geboorte verhuisden zijn ouders naar het huis genaamd Samson op de Voorstraat, hoek Nieuwbrug. Hier kreeg Jacob een ruim atelier, waarin hij Aelbert het vak leerde.
Kunstzinnige familie
Dat Aelbert uit een kunstzinnige familie stamt, blijkt wel uit het feit dat zijn uit Venlo afkomstige grootvader Gerrit Gerritsz. Cuyp al bekendheid genoot als verdienstelijk grof- en fijnschilder, glazenmaker en glasschilder. Hij was vanaf 1585 lid van het Sint-Lucasgilde. Ook zijn oom, de op het Vlak wonende Abraham Gerrtitsz. Cuyp, was glazenier en (glas)schilder.
Na de leertijd werkten vader en zoon Cuyp nog lang nauw samen in huis Samson. Toen Aelbert zeventien jaar was, legden ze hun samenwerking notarieel vast. Soms werkten ze aan hetzelfde schilderij, waarbij Aelbert het landschap schilderde en Jacob de figuren. De familie Cuyp stond bekend als vroom calvinistisch. Zowel vader als zoon bekleedden kerkelijke functies.
In het vroegste werk van Aelbert is de invloed van Jan van Goyen te zien. De invloed van Jan Both zorgde voor een eigen stijl met een bijzondere lichtval in het schilderwerk. Zijn talent om atmosferische elementen zoals zonlicht, wolken, avondrood, onweer en storm vast te leggen, was opmerkelijk. Hoewel het schilderen van portretten niet zijn sterkste kant was, kreeg hij ook daar opdrachten voor. Hij schilderde personen bij voorkeur in jachttaferelen, vaak met paarden in het open veld. Ook was hij meester in het tekenen en schilderen van koeien.
Studiereizen
In 1642 maakt hij een studiereis naar Leiden, ’s-Gravenhage, Utrecht, Rhenen en Arnhem en in 1651-1652 naar Nijmegen, Elten, Emmerik, Kalkar en Kleef. Zijn kennismaking met andere landschappen leverde veel nieuwe tekeningen en schilderijen op.
Huwelijk
Op latere leeftijd trouwt hij met Cornelia Boschman, een vermogende weduwe die in een huis in de Hofstraat woont, op de locatie van de tegenwoordige Statenschool. Dit was het ouderlijk huis van Cornelia's eerste echtgenoot, de zoon van burgemeester Jacob van de Corput en Judith Berck. Het stond naast de zogenaamde Berckepoort, het voorouderlijk huis van Judith Berck. Cornelia had uit haar huwelijk met Van de Corput drie kinderen.
Aelbert en Cornelia krijgen in 1659 een dochter, Arendina, die hun enige kind zou blijven. Op dat moment heeft de dan 39-jarige Aelbert al een imposante carrière als schilder achter de rug. In 1663 koopt het echtpaar een huis in de Wijnstraat, naast de Engelse Kerk. Aelbert wordt diaken en ouderling in de Augustijnenkerk. Vanaf 1673 wordt hij regent van het Heilige Geest- en Pesthuis en in 1679-1682 is hij lid van de Hoge Vierschaar van Zuid-Holland. In 1689 verliest Aelbert zijn vrouw. Twee jaar later sterft hij zelf op 71-jarige leeftijd in het huis van zijn dochter en schoonzoon Pieter Onderwater, brouwer op de Voorstraat.
Pas lang na zijn dood werd zijn werk in bredere kring bekend. In het begin van de negentiende eeuw groeide de vraag naar zijn werk enorm, vooral vanuit Engeland. In die tijd werd er voor een Cuyp zelfs meer betaald dan voor een Rembrandt.
